前言
Hello，这里是小改。距离我们中考好像也不剩几天了，我在备战中考复习的时候也在试着整理一些错题并且找一些类似的题练练手。
然后，我便找到了这样一道有意思的题目。
已知整式 $M = (kx + b)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$，其中 $n$ 为自然数，$k, b, a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$ 均为正整数。下列说法：
① 若 $k = 3, b = 1, n = 5$，则 $a_2 + a_4 = 496$；
② 若 $a_0 = 27, a_n = 81$，且 $2 \leq n < 10$，则符合条件的 $k, n, b$ 的值分别为 $3, 4, 3$；
③ 若 $n = 3, a_0 + 3a_1 + 9a_2 + \cdots + 3^n a_n = 512$，令 $F(k) = kb + 4k - 11$，则 $F(k)$ 的最大值为 $1$。
其中正确的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
这道题是2026年重庆市武隆区某学校初三二模的数学选填压轴，可以看到重庆的题依旧是一如既往的诡异
重庆中考的出题人怎么这么钟爱多项式问题，还有就是，什么时候初中的题干都这么丑了
（2025年重庆市中考选择题压轴也考的多项式，今年武隆的那道校级模拟，也就是我开头给的那题大概率是学习的中考精神也出的多项式）
然而，这题的参考答案我是看着十分的难受。
恕我直言，在对完这题答案后我只感觉这题的答案看着云里雾里的，我不是很喜欢用赋值法，我也不是很懂参考答案到底是怎么构造出来的。
但，这道题目给的二项式，我隐隐约约的感觉这题可以尝试使用杨辉三角来完成。
杨辉三角的定义
杨辉三角是由排列成三角形的数码、中国古代数学的名词术语和横线下方的五句歌决构成的数表。杨辉三角的构建规则如下：
- 第一行只有一个数字1。
- 每一行的首尾数字都是1。
- 每一行中间的数字等于上一行中相邻两个数字的和。
杨辉三角可看作一张二项式系数表。若将顶层称为第0层，则杨辉三角的第$n$层正好对应二项式$(a+b)^n$展开的系数，大致就长这样。
有了这个后，这道题就相对来说比较容易了。
结论1
① 若 $k = 3, b = 1, n = 5$，则 $a_2 + a_4 = 496$；
直接由题干得$(3x+1)^5$，利用杨辉三角展开，然后观察几次2次项和4次项的系数即可即可。
$$(3x+1)^5=3^5·x^5+5·3^4·x^4+\\10·3^3·x^3+10·3^2·x^2+5·3x+1\\
=243x^5+405x^4+270x^3+90x^2+15x+1\\
\Rightarrow a_2=90, a_4=405\\
\boxed{a_2+a_4=90+405=495≠496}
$$
所以结论1是错的。
结论2
② 若 $a_0 = 27, a_n = 81$，且 $2 \leq n < 10$，则符合条件的 $k, n, b$ 的值分别为 $3, 4, 3$；
直接把后面所符合条件的值带进去看常数项和第n次项（此处最高项是第4次项）的系数即可，此时为$(3x+3)^4$，继续利用杨辉三角展开即可。
$$
(3x+3)^4=3^4·x^4+4·3·3^3·x^3+\\6·3^2·3^2·x^2+4·3^3·3x+3^4\\
=81x^4+324x^3+486x^2+324x+81\\
\boxed{\Rightarrow a_n=a_4=81=81, a_0=81≠27}
$$
所以这个结论也是错的。
结论3
③ 若 $n = 3, a_0 + 3a_1 + 9a_2 + \cdots + 3^n a_n = 512$，令 $F(k) = kb + 4k - 11$，则 $F(k)$ 的最大值为 $1$。
有一些人看这个结论也是一头雾水，事实上我们不妨再仔细审一遍题：
已知整式 $M = (kx + b)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$，其中 $n$ 为自然数，$k, b, a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n$ 均为正整数。
什么意思？也就是说这个所谓的$a_n$就是$(kx + b)^n$展开后第$n$次项的系数。
不难看出这个题目他$x$都变成了3，那么我们直接取$x=3$，然后再观察，此时$(kx+b)^n$变成了$(3k+b)^3$，我们直到左边是等于右边的，也就是说$(3k+b)^3=512$。
这里512这个数字极其不对劲，我们知道$2^3=8$，我们试着$512÷8$，得到64，众所周知，$64=8×8$，也就是说$512=8^3$，所以，$3k+b=8$，移项得到b关于k的关系式
$$
\boxed{b=8-3k}
$$
现在结论③中令$F(k) = kb + 4k - 11$，我们把$b=8-3k$代入$F(x)$，可得：
$$
F(x)=k(8-3k)+4k-11
$$
化简，得：
$$
F(x)=-3k^2+12k-11
$$
此时$-3<0$，所以$F(x)$存在最大值，我们对其进行配方：
$$
F(x)=-3(k^2-4k+4)+12-11\\
\boxed{F(x)=-3(k-2)^2+1}
$$
所以当$x=2$时，$F(x)$取最大值$F(2)$，此时：
$$
\boxed{F(2)=0+1=1}
$$
所以这个结论是正确的，这道题也有且仅有这个答案是正确的，所以选B。
一些想法
我不是重庆考生，没有特地做过重庆的中考题，起初选了一道这个题也只是觉得可能与我们本地近几年一直在考的新定义有点关系就选了一道这个题来尝试做。
我不是很清楚重庆的考察方向，所以对于参考答案的赋值和构造的做法不是很理解。
想到杨辉三角这个知识点主要来自人教版数学八年级上册（2012年版）的第113页阅读与思考（2024版新教材其实也有这个阅读与思考）
想到这道题目是二项式，便尝试了一下使用杨辉三角展开，然后算了一阵子后……
不是，这还真能这么做啊？！
然后就有了这篇文章。
不过，这个方法的缺点很明显：暴力展开，题是做出了了，就是做出来的手段有那么些许暴力了……
太吃计算能力了
最后的话
其实通过这次的解题，也明白了有的时候做题应该多善于思考如何从已知条件入手，而不是拿到一个题目就无脑的套上所学的套路，或者是直接管他三七二十一直接无脑套几何模型。
不过也的确，教材还是或多或少藏了一些比较有用的东西的，比如八年级下学期就讲了海伦-秦九韶公式，复习的时候或多或少还是得看一下后面的拓展资料，以前总有人说教材基本跟废纸一样，结果现在中考都开始和高考一样，考些看着很莫名其妙的知识点，考后一看才发现原来教材上居然有提及到，看来现在教材还是需要看那么一眼的。
总之，也学到了很多比较宝贵的做题经验和复习的技巧。
如果文章有什么问题或者有什么更好的做法，欢迎指正，也祝各位即将中考的考生：中考加油。
参与讨论